勾股定理16种证明方法图解，勾股定理16种证明方法

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操作方法：

1.【证明1】（课本证明）作8个全等直角三角形，设其两个直角边长分别为a、b，斜边长为c，然后把三个边长为a、b、c的正方形拼在一起，形成两个正方形，如上图所示。从图中可以看出，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等。即a+b+4x1/2ab=c+4x1/2ab，a+b=c。

2.【证明2】（邹远志证明）做四个全等的直角三角形，a和b为直角边，c为斜边，然后每个直角的面积三角形1ab2 等于。将这四个直角三角形拼成如图所示的形状，使A、E、B在一条直线上，B、F、C在一条直线上，C、G、D在一条直线上一条直线。 RtHAERtEBF，AHE=BEF。AEH+AHE=90o，AEH+BEF=90o。 HEF=180o―90o=90o。 四边形EFGH是边长是c的平方。它的面积等于c2。 RtGDHRtHAE,HGD=EHA。 HGD+GHD=90o，EHA+GHD=90o。且GHE=90o，DHA=90o+90o=180o。ABCD是边长为a+b的正方形，其面积等于(a+b)。(a+b)=4x1 /2ab+ca+b=c。

3.【证明3】（赵爽证明）以a，b为直角边（ba），c为斜边做四个全等直角三角形，然后每个右- 有角的1ab2 三角形的面积等于。将这四个直角三角形拼成如图所示的形状。 RtDAHRtABE,HDA=EAB.HAD+HAD=90o,EAB+HAD=90o,2ABCD是一个边长c的正方形，它的面积等于c。 EF=FG=GH=HE=b―a ,HEF=90o a+b=c。

4.【证明4】（1876年美国总统加菲尔德证明） 以a、b为直角边，c为斜边作两个全等直角三角形，则每个直角三角形1ab形状的面积等于2，将这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A、E、B三点在一条直线上。 RtEAD RtCBE,ADE=BEC。 AED+ADE=90o，AED+BEC=90o。DEC=180o―90o=90o。 DEC是等腰直角三角形，面积等于12c2。且DAE=90o，EBC=90o，ADBC。ABCD是直角梯形，其面积等于1/2(a+b)。1/2(a+b)=2x1/2ab+1/2ca+b=c。

5.【证明5】（梅文鼎证明）作四个全等直角三角形，设它们的两个直角边长分别为a和b，斜边长为C。它们组成如图所示的多边形，使D、E、F在一条直线上。 AC经C作延长线与DF相交于点P。D、E、F在一条直线上，且RtGEFRtEBD，EGF=BED，EGF+GEF=90， BED + GEF=90, BEG=180o―90o=90o。且AB=BE=EG=GA=c, ABEG是一个边长为c的正方形。 ABC+CBE=90o.RtABCRtEBD,ABC=EBD。 EBD + CBE=90o。即CBD=90o。且BDE=90o，BCP=90o，BC=BD=a。BDPC是一个边长为a的正方形。同样，HPFG 是一个边长为b 的正方形。设多边形GHCBE的面积为S，则a+b=S+2x1/2ab,c=S+2x1/2aba+b=c。

6.证明6】（向明达证明）作两个全等直角三角形，设它们的两个直角边长分别为a和b(ba)，斜边作为c。制作另一个边长为c 的正方形。将它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。使QPBC过Q点，交AC于P点。过B点为BMPQ，竖脚为M； F点后，用FNPQ，竖脚为N。BCA=90o，QPBC，MPC=90o，BMPQ，BMP=90o，BCPM为矩形，即MBC=90o。 QBM+MBA=QBA=90o，ABC+MBA=MBC=90o，QBM=ABC，且BMP=90o，BCA=90o，BQ=BA=c，RtBMQ RtBCA。同理可证RtQNFRtAEF。因此，问题可以转化为【证明4】（由梅文鼎证明）。

7.【证明7】（欧氏证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，拼成如图所示的形状，使H、C点B和B在一条直线上，连接BF和CD。使CLDE过C，与AB交于M点，交DE于L点。KAF=AC,AB=AD,FAB=GAD,FABGAD,12aFAB的面积为FAB等于2，GAD的面积等于矩形ADLM面积的一半，矩形ADLM的面积=a同样的道理可以证明，矩形的面积MLEB=b.正方形ADEB的面积=长方形ADLM的面积+长方形MLEB的面积c=a+b。

8.【证明8】（利用相似三角形的性质证明）如图所示，在RtABC中，设边AC和BC的长度分别为a和b，长度AB的斜边为c，过C点作CDAB，垂足为D。ADC与ACB中，ADC=ACB=90o，CAD=BAC，ADCACB.AD:AC=AC :AB，即AC=ADXAB。同理，CDBACB，故BC=BDxAB。AC+BC=(AD+DB)xAB=AB，即a+b=c，

9.【证明9】（杨作梅证明）作两个全等直角三角形，设它们的两个直角边的长度分别为a和b（ba），以及斜边为c。然后做一个边长为c的正方形。将它们组合成一个多边形，如图所示。 AFAC过A，AF与F相交GT，AF与R相交DT。通过B，BPAF，竖脚为P。通过D，使DE垂直于CB的延长线，竖脚为E， DE 在H 处与AF 相交。BAD=90o，PAC=90o，DAH=BAC。且DHA=90o，BCA=90o，AD=AB=c，RtDHARtBCA。DH=BC=a，AH=AC=b由实践可知PBCA是长方形，所以RtAPB RtBCA。即PB=CA=b，AP=a，因此PH=b—a。RtDGTRtBCA，RtDHARtBCA。RtDGTRtDHA。DH=DG=a，GDT=HDA。且DGT=90o，DHF=90o，GDH=GDT+TDH=HDA+TDH=90o，DGFH是边长a的正方形。 GF=FH=a。 TFAF, TF=GT―GF=b―a . TFPB为直角梯形，上底TF=b—a，下底BP=b，高FP=a + (b—a)。用数字表示面积的个数（如图），则以c为边长的正方形的面积为c=S+S+S+S+SS+S+S=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b-1/2abS=S+SS+S=b-1/2ab-S=b-S-S 将代入得到C=S+S+b-S-S+S+S=b+S+S=b+a a+b=c。

10.【证明10】（李锐证明）设直角三角形的两条边长分别为a、b(ba)，斜边长为c。做三条边长分别为a、b、c的正方形，摆成如图所示的形状，使A、E、G在一条直线上。用数字表示该区域的编号（如图）。 TBE=ABH=90o，TBH=ABE。 RBTH=BEA=90o，BT=BE=b，RtHBTRtABE。 HT=AE=a。 GH=GT―HT=b―a.GHF+BHT=90o，DBC+BHT=TBH+GHF=DBC。 DB=EBED=ba，HGF=BDC=90o，RtHGFRtBDC。也就是说，S=S。由Q作QMAG，竖脚为M。由BAQ=BEA=90o，知ABE=QAM，AB=AQ=c，故RtABE RtQAM 。并且RtHBT RtABE。所以RtHBT RtQAM 。也就是说，S=S。从RtABERtQAM，QM=AE=a，AQM=BAE。AQM+FQM=90o，BAE+CAR=90o，AQM=BAE，FQM=CAR。且QMF=ARC=90o，QM=AR=a，RtQMFRtARC。即S=S.C=S+S+S+S+S，a=S+S b=S+S+S，且S=S，S=S，S=S，a+b=S+S+S+S+S=S+S+S+S+S=c，即a+b=c。

11.【证明11】（切割线定理证明）在RtABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。如图，以B为圆心a为半径画圆，分别与AB及AB的延长线相交于D、E处，则BD=BE=BC=a。因为BCA=90o，C点在B上，所以AC是B的切线。切线定理，得AC=AExAD=(AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c-a，即b=c-a，a+b=c。

12.【证明12】（利用Doremi定理证明）在RtABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）。过A点作ADCB，过B点作BDCA，则ACBD为长方形，长方形ACBD内接于圆。根据多柱米定理，圆的内接四边形的对角线乘积等于两条对边的乘积之和。 ABxDC=ADxBC+ACxBD，AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，AB=BC+AC，即c=a+b。

13.【证明13】（直角三角形内切圆的证明）在RtABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。作RtABC圆的内切圆O，切点分别为D、E、F（如图），O的半径为r。AE=AF，BF=BD，CD=CE， AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)=CE+CD=r+r=2r，即a+b-c=2r，a+b=2r+c。 (a+b)=(2r +c)是a+b+2ab=4(r+rc)+cSABE=1/2ab, 2ab=4SABE, SABE=SAOB+SBOC+SAOC=1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r=1/2(2r+c+c)r=r +rc, 4(r+rc)=4SABC, 4(r+rc=2aba+b+2ab=2ab+c, a+b=c.

14.【证明14】（反证证明） 如图所示，在RtABC中，设边AC和BC的长度分别为a和b，斜边AB的长度为c、过C点是CDAB，脚是D。假设a+b不等于c。也就是说，如果AC+BC 不等于AB，则AB=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD22 我们知道AC 不等于ABxAD，或者BC 不等于ABxBD。即AD：ACAC：AB，或BD：BCBC：AB。在ADC和ACB中，A=A，如果AD：ACAC：AB，则ADCACB。在CDB和ACB中，B=B，如果BD:BCBC:AB，则CDBACB。且ACB=90o，ADC90o，CDB90o。这与实践CDAB 相矛盾。因此AC+BC=AB的假设不能成立a+b=c

15.【证明15】（辛普森证明）设直角三角形的两条边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。做一个边长是a+b ABCD的正方形。如左上图将正方形ABCD分成几个部分，则正方形ABCD(a+b)=a+b+2ab；将正方形ABCD分成几个部分如右上图是C部分，则正方形ABCD的面积为(a+b)=4x1/2ab+c=2ab+c,a+b +2ab=2ab+c。 a+b=c。

16.【证明16】（陈杰证明）设直角三角形的两条边的长度分别为a和b(ba)，斜边的长度为c。将a、b的正方形（ba）拼成如图所示的形状，使E、H、M三点在一条直线上。用数字表示该区域的编号（如图）。在EH=b=a上截取ED，连接DA和DC，则AD=c。 EM=EH + HM=b + a , ED=a , (b+a) DM=EMED=(b+a)a=b。且CMD=90o，CM=a，AED=90o，AE=b，RtAEDRtDMC。 EAD=MDC，DC=AD=c。 ADE+ADC+MDC=180o，MADE+MDC=ADE+EAD=90o，ADC=90o.ABDC，CBDA，则ABCD为边长c的正方形. BAF+FAD=DAE+FAD=90o，BAF=DAE。连接FB，在ABF和ADE中，AB=AD=c，AE=AF=b，BAF=DAE，ABFADE。AFB=AED=90o，BF=DE=a。点B , F, G, H在一条直线上。在RtABF和RtBCG中，AB=BC=c，BF=CG=a，RtABFRtBCG。 c=S+S+S+S b=S+S+S a=S+S S=S=S=S+S, a+b=S+S+S+S+S=S+S + S+(S+S)=S+S+S+S=c a+b=c。

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